תנאי קושי כללי לקיום גבול

תוכן העניינים

1 בפתח הדברים
2 ההגדרות הכלליות
3 עניית הגבולות ותנאי קושי על ההגדרות הכלליות

סמנו ב-✔, או בטלו את הסימון, כדי להראות/להחביא את החלקים השונים:

עקרונות מנחים לכתיבת פקודות Macros LatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"

כל פקודה תתחיל ב-MK גדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
1. כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
2. הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר.
לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macros שלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.

קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"

המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות

\cos + i \cdot \sin

. המספרים המרוכבים.

החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.

החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.

אינדקס ליפוף. מרוכבות.

שארית (residue). מרוכבות.

אינפי', יריעות ופונקציונלית

סינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.

קוסינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.

טנגנס היפרבולי הפוך, אינפי'.

יחס אורך-רוחב (aspect ratio). אינפי'.

סגור (closure). אינפי'.

קוטר (diameter). אינפי'.

דיברגנץ (divergence). יריעות.

חוץ (exterior). אינפי'.

פנים (interior). אינפי'.

נורמה אופרטורית. אינפי'.

נפח של קבוצה (volume). יריעות.

התומך של פונקציה (support). פונקציונלית.

אלגברה ליניארית ומבנים אלגבריים

המטריצה המצורפת (adjoint). ליניארית.

חבורת האוטומורפיזמים. מבנים.

המציין של שדה. מבנים.

הליבה של חבורה (core). מבנים.

קבוצת האנדומורפיזמים. ליניארית ומבנים.

קבוצת נקודות השבת של פונקציה או איבר בחבורה. מבנים.

חבורת גלואה של הרחבת שדות. מבנים.

חבורת המטריצות ההפיכות. מבנים.

קבוצת ההומומורפיזמים. ליניארית ומבנים.

חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים (inner). מבנים.

דרגת האפסיות של העתקה. ליניארית.

חבורת המטריצות האורתוגונליות.

חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים (outer). מבנים.

דרגה של מטריצה/העתקה. ליניארית.

משמש לסימון הסגור הספרבילי של שדה. מבנים.

חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה

1

. ליניארית ומבנים.

חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה

1

. ליניארית.

חבורת המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה

1

. ליניארית.

פרוש. ליניארית.

עקבה (trace). ליניארית.

תורת הקבוצות

איחוד זרתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.

איחוד זר גדולתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.

תחום ההגדרה של פונקציה (domain). קבוצות.

הטווח של פונקציה (range). קבוצות.

תמונה של פונקציה.מופיע גם כחלק מדומה של מספר מרוכב.

קבוצת הסדרות הסופיות של איברים מתוך קבוצה נתונה.

תורת ההסתברות

שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).

שונות (variance).

שונות (co-variance).

שוויון התפלגויות (distributions) בין משתנים מקריים.

התפלגות ברנולי.

התפלגות אחידה.

התפלגות גאומטרית.

התפלגות בינומית.

התפלגות פואסון.

התפלגות היפר-גאומטרית.

שונותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"

מדעי המחשב

דרגת הכניסה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.

דרגת היציאה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.

ערך שקר של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.

ערך null. דאסט.

ערך אמת של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.

פיזיקה

קיצור של total, מכניקה.

קיצור של external, מכניקה.

קיצור של constant, מכניקה.

קיצור של effective, מכניקה.

מספרים שלמים

קבוצת הזוגיים

קבוצת האי-זוגיים

קבוצת הראשוניים. תורת המספרים.

פונקציות שונות

פונקציית הזהות.

כפולה משותפת מינימלית

סדר (order). תורת המספרים.

פונקציית הסימן

גופניםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"

גופן mathbb: הטבעיים, השלמים. הרציונליים. הממשיים. המרוכבים ועוד

המספרים המרוכבים

שדה

המספרים הטבעיים

המספרים הרציונליים

המספרים הממשיים

המספרים השלמים

פונקציה מציינת - אינדיקטור

גופן mathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד

גופן mathscr: ?

גופן mathfrak: אותיות גותיות לעוצמות

כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"

תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.

חשבון אינפיניטסימלי (1) - 80131

מרצה: רז קופרמן

מתרגלים: אור יער ודניאל רוזנבלט

סמסטר ב' תשפ"ב, האונ' העברית

חשבון אינפיניטסימלי (2) - 80132

מרצה: יורם לסט

מתרגלים: דניאל אופנר ומתן בן-אשר

סמסטר א' תשפ"ג, האונ' העברית

נכתב ע"י: שריה אנסבכר

תוכן העניינים

1 בפתח הדברים
2 ההגדרות הכלליות
3 עניית הגבולות ותנאי קושי על ההגדרות הכלליות

אשמח לקבל הערות והארות על הסיכומים על מנת לשפרם בעתיד,כל הערה ולו הפעוטה ביותר (אפילו פסיק שאינו במקום או רווח מיותר) תתקבל בברכה;אתם מוזמנים לכתוב לי לתיבת הדוא"ל: sraya.ansbacher@mail.huji.ac.il.

לסיכומים נוספים היכנסו לאתר:אקסיומת השלמות - סיכומי הרצאות במתמטיקהhttps://srayaa.wixsite.com/math

1 בפתח הדברים

בשני הקורסים הראשונים של חשבון אינפיניטסימלי ראינו גבולות רבים ושונים ולכל אחד מהם הוצמד תנאי קושי המתאים לו, בכל פעם שהגדרנו גבול חדש הוכחנו מחדש שקיום תנאי קושי שקול לקיום הגבול. סיכום זה מנסה לשים לדבר סוף: לתת הגדרה כללית של הגבול ותנאי קושי כללי, להוכיח שהם שקולים, ולפיכך בכל פעם שניתקל בגבול חדש כל שנצטרך להראות הוא שגבול זה עונה על הגדרת הגבול הכללית ושתנאי קושי המתאים לו עונה על ההגדרה הכללית של תנאי קושי. תודתי נתונה למשה רוזנשטיין ולדניאל אופנר על ליבון הסוגיה והבאתה לכלל פתרון.

2 ההגדרות הכלליות

הבהרה:: הגדרת הגבול הכללית אינה מתיימרת להחליף את ההגדרות של הגבולות אלא לשמש מעין "תבנית" שלהם ולאפשר לנסח תנאי קושי כללי, בנוסף איני מתיימר לומר שהגדרה זו כוללת את כל הגבולות האפשריים אלא את אלו שראיתי עד כה שבהם הגבול הוא מספר ממשי1להוציא את הפונקציה הגבולית של סדרת פונקציות, ואם יורשה לי אז אנחש שניתן להכליל את ההגדרה הזו גם למקרה זה ולמרחבים מטריים באופן כללי..
$♣$: שימושים נוספים להגדרת הגבול הכללית יכולים להיות הוכחת משפטים כלליים על גבולות כגון אריתמטיקה של גבולות.

תהיינה

f : A \to R

ו-

g : A \to R

, כאשר

A

היא קבוצה המקיימת שלכל

0 < δ \in R

קיים

a \in A

כך שמתקיים

0 < g (a) < δ

הגדרת גבול כללית
נאמר של-

f

יש גבול (או ש-

f

מתכנסת) ביחס ל-

g

אם קיים

L \in R

כך שלכל

0 < ε \in R

קיימת

0 < δ \in R

כך שלכל

a \in A

המקיים

0 < g (a) < δ

מתקיים

| f (a) - L | < ε

, ובמקרה כזה נאמר ש-

L

הוא גבול של

f

ביחס ל-

g

תנאי קושי כללי
נאמר ש-

f

מקיימת את תנאי קושי עבור

g

אם לכל

0 < ε \in R

קיימת

0 < δ \in R

כך שלכל

a_{1}, a_{2} \in A

המקיימים

g (a_{1}), g (a_{2}) \in (0, δ)

מתקיים

| f (a_{1}) - f (a_{2}) | < ε

ל-

f

יש גבול ביחס ל-

g

אם"ם

f

מקיימת את תנאי קושי עבור

g

$\Leftarrow$
נניח של- $f$ יש גבול ביחס ל- $g$ ויהי $L \in R$ גבול של $f$ ביחס ל- $g$ .
יהי $0 < ε \in R$ , מההנחה נובע שקיים $0 < δ \in R$ כך שלכל $a_{1}, a_{2} \in A$ המקיימים $g (a_{1}), g (a_{2}) \in (0, δ)$ מתקיים $| f (a_{1}) - L | < \frac{ε}{2}$ וגם $| f (a_{2}) - L | < \frac{ε}{2}$ (יהי $δ$ כנ"ל).
מא"ש המשולש נובע שמתקיים $| f (a_{1}) - f (a_{2}) | < ε$ .
$ε$ הנ"ל היה שרירותי ולכן לכל $0 < ε \in R$ קיימת $0 < δ \in R$ כך שלכל $a_{1}, a_{2} \in A$ המקיימים $g (a_{1}), g (a_{2}) \in (0, δ)$ מתקיים $| f (a_{1}) - f (a_{2}) | < ε$ , כלומר $f$ מקיימת את תנאי קושי עבור $g$ .
$\Rightarrow$
נניח ש- $f$ מקיימת את תנאי קושי עבור $g$ , א"כ קיימת $0 < δ \in R$ כך שלכל $a^{'}, a \in A$ המקיימים $g (a^{'}), g (a) \in (0, δ)$ מתקיים $| f (a^{'}) - f (a) | < 1$ (יהיו $δ$ ו- $a^{'}$ כנ"ל2).
מכאן שלכל $a \in A$ המקיים $0 < g (a) < δ$ מתקיים $| f (a^{'}) - f (a) | < 1$ ולכן גם $f (a^{'}) - 1 < f (a) < f (a^{'}) + 1$ .
- תהא ${(ε_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ סדרת חיוביים מונוטונית יורדת המתכנסת ל- $0$ .
- תהא ${(δ_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ סדרת חיוביים קטנים מ- $δ$ כך שלכל $n \in N$ ולכל $a_{1}, a_{2} \in A$ המקיימים $g (a_{1}), g (a_{2}) \in (0, δ_{n})$ מתקיים $| f (a_{1}) - f (a_{2}) | < ε_{n}$ .
- תהא ${(a_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ סדרת איברים ב- $A$ כך שלכל $n \in N$ מתקיים $0 < g (a_{n}) < δ_{n} < δ$ 3גם כאן השתמשנו בהנחה הנ"ל..
מהשלב הקודם נובע שהסדרה ${(f (a_{n}))}_{n = 1}^{\infty}$ חסומה ולכן (ע"פ משפט בולצאנו-ויירשטראס) יש לה תת-סדרה מתכנסת.
תהא ${(n_{k})}_{k = 1}^{\infty}$ סדרת אינדקסים עולה ממש כך ש- ${(f (a_{n_{k}}))}_{k = 1}^{\infty}$ מתכנסת ונסמן את גבולה ב- $L$ .
יהי $0 < ε \in R$ , מהגדרת ${(ε_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ קיים $N \in N$ כך שלכל $N < n \in N$ מתקיים $ε_{n} < \frac{ε}{2}$ (יהי $N$ כנ"ל).
יהי $k \in N$ כך ש- $N < n_{k}$ , מכאן ש- $| f (a_{n_{k}}) - L | < ε_{n_{k}} < \frac{ε}{2}$ .
מההנחה נובע שלכל $a \in A$ המקיים $0 < g (a) < δ_{n_{k}}$ מתקיים $| f (a) - f (a_{n_{k}}) | < ε_{n_{k}} < \frac{ε}{2}$ ומא"ש המשולש נקבל שמתקיים $| f (a) - L | < ε$ .
$ε$ הנ"ל היה שרירותי ולכן לכל $0 < ε \in R$ קיימת $0 < δ \in R$ כך שלכל $a \in A$ המקיים $g (a) \in (0, δ)$ מתקיים $| f (a) - L | < ε$ , כלומר ל- $f$ יש גבול ביחס ל- $g$ .

3 עניית הגבולות ותנאי קושי על ההגדרות הכלליות

בניגוד לחלק הקודם חלק זה לא יהיה פורמלי מפני שכל ייעודו להמחיש את גמישות הגדרת הגבול הכללית ולהראות שהגבולות שנלמדו עד כה בשני הקורסים נכנסים תחת כנפיו.

3.1 אינטגרביליות רימן

למרות שלכאורה היה ראוי להתחיל מהגבול הפשוט ביותר, הלא הוא גבול של סדרה ממשית, ראיתי לנכון להתחיל דווקא מאינטגרביליות רימן מכיוון שגבול זה מבהיר מדוע היינו זקוקים לרכיבים רבים מצד אחד4בהגדרה הכללית מופיעות שתי פונקציות בניגוד לגבולות שלמדנו שבהם מופיעה רק פונקציה אחת. ולמעט רכיבים מצד שני5תחום ההגדרה של

f

ו-

g

זהה ולכאורה שתיהן מקבלות את אותו קלט (בהגדרה

f

ו-

g

מקבלות את אותו

a

בכל פעם)..

תהא

h : [a, b] \to R

הפונקציה שעבורה אנחנו רוצים לחשב את האינטגרל על

[a, b]

(או להוכיח את קיומו או אי-קיומו).

עבור אינטגרביליות רימן של

h

על

[a, b]

נגדיר את

A

להיות קבוצת הזוגות הסדורים שהאיבר הראשון בהם הוא חלוקה של

[a, b]

והשני הוא בחירת נקודות המתאימה לה.

f

תהיה הפונקציה המחזירה את סכום רימן המתאים ו-

g

תהיה הפונקציה המחזירה את פרמטר החלוקה.

כעת יגלול הקורא את המסמך לתחילתו ויראה שאכן עבור

A

f

ו-

g

הנ"ל מתקבלת הגדרת אינטגרביליות רימן ותנאי קושי המתאים לה.

$♣$: ניתן גם להכניס את $h$ ו- $[a, b]$ לסדרות ב- $A$ אך אז בניגוד לחלוקה ולבחירת הנקודות $h$ ו- $[a, b]$ יהיו קבועים, כלומר כל סדרה ב- $A$ תיראה כך: $(h, [a, b], P, P^{*})$ , כאשר בכל הסדרות מופיעים אותם $h$ ו- $[a, b]$ ואילו $P$ יכולה להיות כל חלוקה של $[a, b]$ ו- $P^{*}$ יכולה להיות כל בחירת נקודות המתאימה ל- $P$ .

3.2 סדרות

לכאורה אנחנו בבעיה, גבול של סדרה עובד עם

N

טבעי ו-

n

-ים שהולכים וגדלים ואילו בהגדרה השתמשנו ב-

δ

ממשית במקום ב-

N

טבעי וזו (בנוסף לכך שאינה עונה על ההגדרה) מקרבת אותנו דווקא ל-

0

, להלן הפתרון.

A

היא פשוט

N

f

היא הסדרה שאת גבולה אנו רוצים להגדיר ו-

g

היא הפונקציה המחזירה את ההופכי של מספר טבעי (לכן ככל ש-

δ

קטנה יותר

n

דווקא גדול יותר).

השימוש דווקא ב-

N

טבעי אינו מהותי להגדרת הגבול של סדרה, ניתן היה להגדיר גם כך: "...קיים

M \in R

כך שלכל

M < n \in N

מתקיים...", שהרי אם קיים

N

טבעי בפרט קיים

M

ממשי ואם קיים

M

ממשי אז גם

max {⌈ M ⌉, 1}

(שהוא טבעי כמובן) מקיים את המבוקש.

$♣$: מכיוון שהתכנסות טורים והתכנסות סדרת פונקציות בנקודה הם מקרים פרטיים של התכנסות סדרה לא ראיתי צורך לייחד עליהם את הדיבור.

3.3 גבול של פונקציה בנקודה

תהא

h : D \to R

כאשר

D \subseteq R

וקיימת נקודה

x_{0} \in R

כך ש-

B_{δ}^{\circ} (x_{0}) \subseteq D

(עבור

0 < δ \in R

כלשהי) שבה אנו רוצים לחשב את הגבול של

h

(או להוכיח את קיומו או אי-קיומו).

נגדיר

A := {(x_{0}, x) : x \in D}

לכל

(x_{0}, x) \in A

הפונקציה

f

תחזיר את

h (x)

ואילו

g

תחזיר את

| x - x_{0} |

3.4 גבול של פונקציה ב- $\pm \infty$

כבר פתרנו את הבעיה של גבול ממשי ב-

\infty

עבור סדרות, הפתרון עבור פונקציות יהיה דומה מאד.

תהא

h : D \to R

כאשר

D \subseteq R

וקיים

x_{0} \in R

כך ש-

(x_{0}, \infty) \subseteq D

(עבור גבול ב-

\infty

) או

(- \infty, x_{0}) \subseteq D

(עבור גבול ב-

- \infty

A

תהיה פשוט

D

ו-

f

תהיה

h

g

תלויה בשאלה אם אנו עוסקים בגבול ב-

\infty

או ב-

- \infty

אם מדובר ב-

\infty

אז

g

תוגדר ע"י (לכל

a \in A

)6עבור

a = 0

ניתן היה להגדיר את

g (a)

להיות כל מספר (כמובן, ייתכן גם ש-

0 \notin A

).:

g (a) = {\begin{cases} \frac{1}{a} & a \neq 0 \\ 0 & a = 0 \end{cases}

ואם מדובר בגבול ב-

- \infty

אז

g

תוגדר ע"י (לכל

a \in A

g (a) = {\begin{cases} - \frac{1}{a} & a \neq 0 \\ 0 & a = 0 \end{cases}

3.5 אינטגרביליות לא אמיתית מסוג ראשון

תהא

h : [x_{0}, \infty) \to R

עבור

x_{0} \in R

כלשהו (כאן כבר אניח שהקורא יבין כיצד להכליל עבור אינטגרל לא אמיתי על הקרן

(- \infty, x_{0}]

נגדיר

A := [x_{0}, \infty)

תהא

f

הפונקציה הצוברת של

h

, כלומר

f

מוגדרת ע"י (לכל

a \in A

f (a) = \int_{x_{0}}^{a} h (x) d x

ואילו

g

תוגדר כמקודם (לכל

a \in A

g (a) = {\begin{cases} \frac{1}{a} & a \neq 0 \\ 0 & a = 0 \end{cases}

3.6 אינטגרביליות לא אמיתית מסוג שני

תהא

h : [a, b] \to R

פונקציה לא חסומה כאשר

a

היא נקודה מיוחדת, כלומר

h

אינה חסומה בכל סביבה של

a

A

תהיה קבוצת הסדרות המכילות את הרכיבים הבאים (לפי הסדר):

x_{0} \in (a, b]

P

חלוקה של של

[x_{0}, b]

ו-

P^{*}

בחירת נקודות המתאימה ל-

P

f

תהיה הפונקציה המחזירה את סכום רימן המתאים ואילו

g

תחזיר את

| x_{0} - a |

רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים?
אתם מוזמנים לתת טיפ.

להורדה כ-PDF: